이 세션에서는 결과를 질적으로 설명하는 방식에서 엄격한 양적 프레임워크로 전환합니다. 무작위 변수는 대수적 의미의 '변수'가 아니라, 표본 공간의 원소를 실수 직선으로 변환하는 결정론적 매핑—함수—로 정의됩니다.
함수적 정의 (정의 2.1.1)
무작위 변수 $X$는 표본 공간 $S$ 내의 모든 가능한 결과 $s$에 대해 실수 $X(s)$를 할당하는 함수 $X: S \to R^1$입니다. 다음을 참조하세요 그림 2.1.1 이 과정의 시각적 매핑을 위해.
지표 함수 ($I_A$)
집합 이론과 산술 사이의 다리를 놓기 위해, 사건 $A$의 지표 함수를 정의합니다:
$$I_A(s) = \begin{cases} 1 & s \in A \\ 0 & s \notin A \end{cases}$$
이것은 사건의 발생을 이진 수치 신호로 변환합니다.
분포의 정의 (정의 2.2.1)
$X$의 "분포"는 $B \subseteq R^1$인 부분집합에 대해 확률 $P(X \in B)$의 집합입니다. 엄밀히 말하면, $B$가 보렐 부분집합measure 이론에서 기술적인 제약 조건이어야 합니다. 그러나 실제로 정의할 수 있는 어떤 부분집합도 보렐 부분집합입니다.
확률의 극한과 연속성
무한한 맥락에서 우리의 함수가 예측 가능하게 행동하도록 보장하기 위해, 정리 1.3.4와 1.6.1에서 설정된 공리에 의존합니다:
- 가산 가법성 (1.7.1): $P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \sum P(B_n)$, 여기서 $B_n$는 $A_n$의 서로소 버전입니다.
- 확률의 연속성 (1.7.2): 만약 사건의 수열 $\{A_n\} \nearrow A$라면, $\lim_{n \to \infty} P(A_n) = P(A)$입니다.
정리 1.3.4의 증명
어떤 사건의 수열 $A_1, A_2, \dots$ (서로소일 필요는 없음)에 대해 다음을 증명하고자 합니다:
$$P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) \leq P(A_1) + P(A_2) + \cdots$$
이것은 부울의 부등식으로 알려져 있으며, 복잡한 시스템에서 확률을 경계짓는 데 핵심적인 역할을 합니다.
🎯 역사적 배경
용어 "무작위 변수"는 조 에이 도브 와 윌리엄 펠러 1950년대 초의 동전 던지기로 선택되었습니다. 기술적으로는 함수지만, 이름 "변수"는 이 유명한 던지기의 역사적 산물로 남아 있습니다.